مسئله فرش مستطیلی و گره‌های مربع شکل 📐

🎨✨ یک هنرمند می‌خواهد یک طرح فرش به شکل مستطیل با ابعاد 63 سانتی‌متر در 21 سانتی‌متر را با گره‌های مربع شکلی طراحی کند. اگر بخواهد از کمترین تعداد گره استفاده کند، اندازه هر گره و تعداد کل گره‌ها را محاسبه کنید.🤔💡

---

فهم مسئله

🎯 این مسئله یک مسئله‌ی ریاضی است که با مفهوم بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م) ارتباط دارد. هدف ما پیدا کردن بزرگترین اندازه‌ای برای گره‌های مربع شکل است که بتواند به طور کامل و بدون هیچ گونه باقی‌مانده‌ای، طول و عرض فرش را پوشش دهد. با این کار، تعداد کل گره‌ها نیز کمینه می‌شود. 🧩

روش اول: استفاده از مفهوم ب.م.م

🔑 برای حل این مسئله، ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م) بین طول و عرض فرش را پیدا کنیم. ب.م.م بزرگترین عددی است که هر دو عدد 63 و 21 بر آن بخش‌پذیر باشند.

$$ب.م.م(63,21)=3^{}\times 7$$

📏 بنابراین، اندازه هر گره مربع شکل باید 21 سانتی‌متر باشد. حالا می‌توانیم تعداد گره‌ها در طول و عرض فرش را محاسبه کنیم:

• تعداد گره‌ها در طول: 63 / 21 = 3
• تعداد گره‌ها در عرض: 21 / 21 = 1

🔢 تعداد کل گره‌ها برابر است با حاصل ضرب تعداد گره‌ها در طول و عرض:

$$3\times 1=3$$

✅ بنابراین، برای طراحی این فرش با کمترین تعداد گره، به 3 گره مربع شکل با اندازه 21 سانتی‌متر نیاز داریم. 🎉

روش دوم: تجزیه اعداد به عوامل اول

💡 روش دیگر برای پیدا کردن ب.م.م، تجزیه هر دو عدد به عوامل اول است:

• 63 = 3 × 3 × 7
• 21 = 3 × 7

🌟 حالا عواملی که در هر دو تجزیه مشترک هستند را پیدا می‌کنیم: 3 و 7. سپس این عوامل را در هم ضرب می‌کنیم:

$$3\times 7=21$$

✨ همانطور که در روش اول دیدیم، اندازه هر گره مربع شکل باید 21 سانتی‌متر باشد. و تعداد کل گره‌ها نیز 3 خواهد بود. 💖

روش سوم: تقسیم متوالی

🔄 این روش شامل تقسیم کردن عدد بزرگتر (63) بر عدد کوچکتر (21) به صورت متوالی تا زمانی که باقی‌مانده صفر شود:

• 63 ÷ 21 = 3 با باقی‌مانده 0

💫 از آنجایی که باقی‌مانده صفر شد، عدد کوچکتر (21) همان ب.م.م است. بنابراین، اندازه هر گره مربع شکل باید 21 سانتی‌متر باشد و تعداد کل گره‌ها نیز 3 خواهد بود. 🥰

خلاصه و نتیجه‌گیری

📝 با استفاده از سه روش مختلف (ب.م.م، تجزیه به عوامل اول و تقسیم متوالی)، به این نتیجه رسیدیم که برای طراحی فرش مستطیلی با ابعاد 63 سانتی‌متر در 21 سانتی‌متر با کمترین تعداد گره مربع شکل، باید از 3 گره با اندازه 21 سانتی‌متر استفاده کنیم. 💯

جدول خلاصه نتایج

روش	اندازه هر گره (سانتی‌متر)	تعداد کل گره‌ها
ب.م.م	21	3
تجزیه به عوامل اول	21	3
تقسیم متوالی	21	3

اصطلاحات کلیدی

• بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م): بزرگترین عددی که دو یا چند عدد بر آن بخش‌پذیر باشند. 🤓
• عامل اول: عددی که فقط بر خودش و 1 بخش‌پذیر باشد. 🧐
• تجزیه به عوامل اول: نوشتن یک عدد به صورت حاصل ضرب عوامل اول آن. 🤔

توصیه‌های کاربردی

💡 این روش برای حل مسائل مشابه در زندگی روزمره نیز مفید است. مثلاً، اگر بخواهید یک اتاق مستطیلی را با کاشی‌های مربع شکل بپوشانید و می‌خواهید از کمترین تعداد کاشی استفاده کنید، باید اندازه کاشی‌ها را برابر با ب.م.م طول و عرض اتاق انتخاب کنید. 🏠

فرمول های ریاضی

$$ب.م.م(a,b)={\prod }_i^n{p}^{{\alpha }_i}$$

حالا اگه این اطلاعات براتون مفید بود، حتماً به دوستاتون هم بگید تا اونا هم ازش استفاده کنن.

📐آموزش ریاضیات پایه هفتم✏️